1.4 Probability -INDEPENDENT EVENTS

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

 

독립 사건은 하나의 사건 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 미치지 않는 사건을 의미합니다. 이 개념은 사건 간의 관계를 이해하는 데 중요한 도구를 제공합니다.

 

정의 1.4-1: 독립 사건 (Independent Events)

사건 A와 B가 독립적이라는 것은 다음과 같은 조건을 만족할 때입니다:

P(A∩B)=P(A)P(B)

이때 P(A)>0 또는 P(B)>0이어야 합니다. 그렇지 않은 경우, A와 B는 종속적 사건으로 간주됩니다.

 

예제 1.4-1

공정한 동전을 두 번 던져 나온 결과를 관찰합니다. 표본공간은 S={HH,HT,TH,TT}S = \{HH, HT, TH, TT\}입니다.

• A={첫 번째 동전이 앞면}={HH,HT}
• B={두 번째 동전이 뒷면}={HT,TT}

P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4=1/2, 그리고 P(A∩B)=1/4입니다.
따라서,

P(A ∩ B) = P(A)P(B) = \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2} \) = \( \frac{1}{4} \)

A와 B는 독립적입니다.

 

정리 1.4-1
사건 A와 B가 독립적이라면, 다음 조건도 성립합니다:

1. A와 \( B^c \) 는 독립적이다.
2. \( A^c \) 와 B는 독립적이다.
3. \( A^c \) 와 \( B^c \) 는 독립적이다.

증명은 조건부 확률의 성질을 사용하여 전개됩니다.

 

정의 1.4-2: 상호 독립 사건 (Mutual Independence)
사건 A,B,C가 상호 독립적이려면 다음 조건을 만족해야 합니다:

1. 쌍으로 독립적이어야 합니다: P(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)=P(B)P(C)
2. 모든 사건의 교집합에 대해 다음을 만족해야 합니다: P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)

예제 1.4-4
숫자 1부터 4까지 적힌 공이 들어있는 주머니에서 무작위로 하나를 뽑습니다.

• A={1,2}, B={1,3}, C={1,4}, P(A)=P(B)=P(C)=1/2이며, P(A∩B)=P(A)P(B),P(A∩C)=P(A)P(C),P(B∩C)=P(B)P(C)이므로 A,B,CA, B, C는 쌍으로 독립적입니다. 하지만, \( P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{4} \neq P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{8} \)
  

따라서 A,B,CA, B, C는 상호 독립적이지 않습니다.

 

예제 1.4-5

로켓 시스템에 세 개의 독립적인 컴포넌트 K1,K2,K3가 있습니다.
각 컴포넌트가 고장날 확률은 P(Ki)=0.15입니다.
전체 시스템이 고장나지 않을 확률은

\( P[(K_1 \cap K_2 \cap K_3)^c] = 1 - P(K_1 \cap K_2 \cap K_3) = 1 - P(K_1)P(K_2)P(K_3) = 1 - (0.15)^3 = 0.9966 \)