1.3 Probability -CONDITIONAL PROBABILITY

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

조건부 확률은 특정 사건이 이미 발생했을 때 다른 사건이 발생할 확률을 나타냅니다. 이는 사건 간의 의존성을 분석하거나 새로운 정보를 기반으로 기존 확률을 갱신하는 데 필수적인 도구입니다.

정의 1.3-1: 조건부 확률 (Conditional Probability)
사건 A와 B가 주어졌을 때, B가 발생했음을 고려한 A의 조건부 확률은
\( P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0 \)
로 정의됩니다.

예제 1.3-2
주사위를 던질 때, A는 숫자가 4 이상인 사건 (A={4,5,6})이고, B는 짝수가 나오는 사건 (B={2,4,6})입니다.
두 사건의 교집합은 A∩B={4,6}입니다.

사건 B가 발생했을 때 A가 발생할 확률은
\( P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{3} \)
입니다.

정리 1.3-2: 곱셈 법칙 (Multiplication Rule)
조건부 확률의 정의로부터, 두 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률은
\( P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B) \)
로 계산됩니다.

또한, 이는
\( P(A \cap B) = P(B \mid A) P(A) \)
로도 표현할 수 있습니다.

예제 1.3-6
한 그릇에 파란 칩 7개와 빨간 칩 3개가 있습니다. 두 번 연속으로 칩을 뽑을 때, 첫 번째로 빨간 칩 (A), 두 번째로 파란 칩 (B)을 뽑을 확률을 계산합니다.
첫 번째로 빨간 칩을 뽑을 확률은 P(A) = \frac{3}{10}이며, 첫 번째로 빨간 칩을 뽑은 경우 두 번째로 파란 칩을 뽑을 조건부 확률은 \( P(B \mid A) = \frac{7}{9} \) 입니다.
따라서, \( P(A \cap B) = P(A) P(B \mid A) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{30} \) 입니다.

조건부 확률의 성질
조건부 확률은 다음과 같은 성질을 만족합니다:

1. \( P(A \mid B) \geq 0 \)
2. \( P(B \mid B) = 1 \)
3. \( P(A^c \mid B) = 1 - P(A \mid B) \)
4. \( P(A \cap B \cap C) = P(A \mid B \cap C) P(B \cap C) \)

예제 1.3-12
전자 장치의 두 구성 요소 C_1과 C_2가 각각 고장날 확률이 주어졌습니다:
첫 번째 구성 요소가 고장날 확률은\( P(C_1 \text{ fails}) = 0.01 \)이며, 첫 번째 구성 요소가 고장난 경우 두 번째 구성 요소가 고장날 조건부 확률은\( P(C_2 \text{ fails} \mid C_1 \text{ fails}) = 0.025 \)입니다.
장치 전체가 작동하지 않을 확률은\( P(C_1 \text{ fails}) P(C_2 \text{ fails} \mid C_1 \text{ fails}) = (0.01)(0.025) = 0.00025 \)입니다