1.1 Probability -확률의 성질 (Properties of Probability)

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

 

1.1 Properties of Probability

확률 이론은 불확실한 결과를 가지는 랜덤 실험(Random Experiment)에 기반하여 가능성을 분석하는 학문입니다. 확률의 성질은 표본공간(Sample Space)과 사건(Event)으로 표현됩니다.

1. 표본공간과 사건

1. 표본공간 \( S \): 실험의 모든 가능한 결과의 집합.

2. 사건 \( A \): 표본공간 \( S \)의 부분집합으로 정의.

3. 랜덤 실험: 결과가 불확실한 실험.

2. 집합 연산과 사건
1. 합집합: \( A \cup B \), \( A \) 또는 \( B \)가 발생.
2. 교집합: \( A \cap B \), \( A \)와 \( B \)가 동시에 발생.
3. 여집합: \( A' \), \( A \)가 발생하지 않음.

3. 확률의 성질
확률 \( P(A) \)는 다음을 만족합니다:
1. \( P(A) \geq 0 \) (비음성).
2. \( P(S) = 1 \) (전체 확률은 1).
3. 가법성:
   - 상호 배타적(Mutually Exclusive) 사건 \( A_1, A_2, \dots \)에 대해,
   \[
   P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = P(A_1) + P(A_2) + \dots
   \]

4. 주요 정리들
1. 여집합의 확률:
   \[
   P(A) = 1 - P(A')
   \]

2. 공집합의 확률:
   \[
   P(\emptyset) = 0
   \]

3. 포함 관계:
   \[
   A \subseteq B \implies P(A) \leq P(B)
   \]

4. 범위 제한:
   \[
   0 \leq P(A) \leq 1
   \]

5. 합집합의 확률:
   \[
   P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
   \]

6. 세 사건의 합집합:
   \[
   P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
   \]

5. 드모르간 법칙(De Morgan’s Laws)
드모르간 법칙은 여집합과 합집합, 교집합 사이의 관계를 설명합니다:
\[
   (A \cup B)' = A' \cap B'
   \]
\[
   (A \cap B)' = A' \cup B'
   \]

6. 확률 계산 방법
1. 상대 빈도:
   \[
   P(A) \approx \frac{N(A)}{n}
   \]
   여기서 \( N(A) \)는 사건 \( A \)가 발생한 횟수, \( n \)은 실험 반복 횟수입니다.

2. 동일 확률(Equally Likely):
   사건 \( A \)가 \( h \)개의 결과를 가질 때,
   \[
   P(A) = \frac{h}{m}
   \]
   \( m \)은 표본공간의 가능한 모든 결과의 수.

7. 예제
1. 동전 던지기:
   - 사건 \( A \): 세 번 이상 던졌을 때 같은 면이 연속적으로 나오는 사건.
   - \( P(A) = 1 - P(A') \)로 계산.

2. 카드 뽑기:
   - 사건 \( A \): 뽑은 카드가 왕(King).
   \[
   P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
   \]

3. 스포츠 관람:
   \( A \): 축구, \( B \): 농구, \( C \): 야구.
   \[
   P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
   \]