1.2 Probability -METHODS OF ENUMERATION

 

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

 

이 섹션에서는 특정 랜덤 실험에서 발생할 수 있는 결과의 수를 세는 데 유용한 다양한 카운팅 기법을 소개합니다. 곱셈 원리, 순열, 조합 등 핵심적인 개념을 다룹니다.

 

1. 곱셈 원리 (Multiplication Principle)
정의
실험 \( E_1 \)이 \( n_1 \)개의 결과를 가지며, 각 결과에 대해 실험 \( E_2 \)가 \( n_2 \)개의 결과를 가진다면, 복합 실험 \( E_1E_2 \)의 결과는 \( n_1 \times n_2 \)개입니다.

일반화
\( m \)개의 실험 \( E_1, E_2, \dots, E_m \)이 각각 \( n_1, n_2, \dots, n_m \)개의 결과를 가진다면:

\( n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_m \)

예제 1.2-1

• \( E_1 \): 암컷(\( F \)) 또는 수컷(\( M \)) 쥐 선택
• \( E_2 \): 약물 \( A \), 약물 \( B \), 위약 \( P \) 중 하나 투여

결과의 집합:

\( \{(F, A), (F, B), (F, P), (M, A), (M, B), (M, P)\} \)

총 \( 2 \times 3 = 6 \)개의 결과.

2. 순열 (Permutation)
정의
서로 다른 \( n \)개의 객체를 순서대로 배열하는 방법의 수:

\( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \)

여기서 \( 0! = 1 \)로 정의.

부분 순열
\( n \)개의 객체에서 \( r \)개의 위치를 순서대로 채우는 방법의 수:

\( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \)

예제 1.2-4
알파벳에서 4개의 문자를 선택해 코드 생성:

\( P(26, 4) = \frac{26!}{(26-4)!} = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358,800 \)

 

 

3. 조합 (Combination)
정의
순서를 무시하고 \( n \)개의 객체에서 \( r \)개의 객체를 선택하는 방법의 수:

\( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

예제 1.2-9
52장의 카드에서 5장을 선택하는 경우의 수:

\( C(52, 5) = \binom{52}{5} = \frac{52!}{5!(52-5)!} = 2,598,960 \)

 

 

4. 이항 계수 (Binomial Coefficient)와 이항 전개
정의
이항 계수는 다음과 같이 정의됩니다:

\( \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

이항 전개 식:

\( (a + b)^n = \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} a^{n-r} b^r \)

예제 1.2-11
52장의 카드에서 모두 스페이드 카드만 선택할 확률:

\( P(A) = \frac{\binom{13}{5} \cdot \binom{39}{0}}{\binom{52}{5}} = 0.000495 \)