2.2 Discrete Distributions -Mathematical Expectation

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

 

정의
Expected value(기대값)는 확률 분포의 중요한 특성을 요약하는 값으로, 이산형 확률 변수 \( X \)에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

\[E[u(X)] = \sum_{x \in S} u(x) f(x)\]

- \( u(X) \): 확률 변수 \( X \)의 함수.
- \( f(x) \): \( X \)의 확률 질량 함수(PMF).
- \( S \): \( X \)의 정의역.

기대값은 \( u(x) \)의 가중 평균으로 생각할 수 있으며, 여기서 가중치는 \( f(x) = P(X = x) \)입니다.

예제
- 예제 1: 한 사람이 주사위 게임에서 주어진 조건에 따라 지불받는 금액이 결정된다고 가정합니다:
  - 사건 \( A = \{1, 2, 3\} \): 1달러.
  - 사건 \( B = \{4, 5\} \): 2달러.
  - 사건 \( C = \{6\} \): 3달러.
  - 확률 질량 함수 \( f(x) \): \( f(1) = \frac{3}{6}, f(2) = \frac{2}{6}, f(3) = \frac{1}{6} \).

  이때, 기대값 \( E(X) \)는 다음과 같이 계산됩니다:
  \[
  E(X) = \sum_{x=1}^3 x f(x) = 1 \cdot \frac{3}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.
  \]

  이는 평균적으로 해당 게임에서 지급해야 하는 금액을 의미합니다.

기대값의 성질
기대값 \( E \)의 다음 성질을 나타냅니다:
1. 상수 \( c \)에 대해:
   \[E(c) = c\]

2. 상수 \( c \)와 함수 \( u(X) \)에 대해:
   \[E[c u(X)] = c E[u(X)]\]

3. 선형 결합에 대해:
   \[E[c_1 u_1(X) + c_2 u_2(X)] = c_1 E[u_1(X)] + c_2 E[u_2(X)]\]

이 성질은 수리적 기대값이 선형 연산임을 보여줍니다.

응용
- 예제 2: \( X \)가 주어진 확률 질량 함수 \( f(x) = \frac{x}{10}, x = 1, 2, 3, 4 \)를 가질 때:
  - 기대값:
    \[
    E(X) = \sum_{x=1}^4 x \cdot \frac{x}{10} = \frac{1}{10}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = \frac{30}{10} = 3.
    \]
  - \( X^2 \)의 기대값:
    \[
    E(X^2) = \sum_{x=1}^4 x^2 \cdot \frac{x}{10} = \frac{1}{10}(1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = 10.
    \].