7.4 Sample Size

* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다

 

1. 이론 정리
 1) 표본 크기(Sample Size)
    (1) 개요
        a) 표본 크기의 중요성
          (a) 표본 크기는 신뢰 구간의 길이 및 신뢰 수준에 영향을 미침.
          (b) 분산이 작을수록 같은 신뢰 수준에서 더 작은 표본 크기로도 충분함.
        b) 표본 크기 결정의 일반적 원칙
          (a) 모집단의 변동성이 작을수록 표본 크기가 작아도 됨.
          (b) 신뢰 구간을 짧게 하려면 표본 크기를 늘려야 함.
          (c) 일반적으로 표본 크기가 30 이상이면 중심극한정리에 의해 정규분포 근사 가능.

    (2) 평균(μ) 추정 시 표본 크기 결정
        a) 기본 공식
          (a) 신뢰 구간이 \( x \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)의 형태를 가짐.
          (b) 최대 허용 오차(ε)가 주어졌을 때, 표본 크기 \( n \)은 다음과 같음:
              \[
              n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{\varepsilon^2}
              \]
        b) 예제: 수학 학과의 새로운 교수법 평가
          (a) 모집단의 표준편차가 15라고 가정.
          (b) 최대 허용 오차가 1점일 때 95% 신뢰 구간을 만족하는 표본 크기:
              \[
              n = \left( \frac{1.96 \times 15}{1} \right)^2 = 865
              \]
          (c) 신뢰 수준을 80%로 낮추면 필요 표본 크기가 감소함.

    (3) 비율(p) 추정 시 표본 크기 결정
        a) 기본 공식
          (a) 신뢰 구간이 \( \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \)의 형태를 가짐.
          (b) 최대 허용 오차(ε)가 주어졌을 때, 표본 크기 \( n \)은 다음과 같음:
              \[
              n = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1 - p)}{\varepsilon^2}
              \]
        b) 예제: 학생 투표 비율 조사
          (a) 모집단이 3000명이고, 95% 신뢰 수준에서 최대 허용 오차가 0.03일 때:
              \[
              m = \frac{(1.96)^2 \times 0.5 \times (1 - 0.5)}{(0.03)^2} = 1068
              \]
          (b) 모집단 크기를 고려한 보정 적용 시:
              \[
              n = \frac{1068}{1 + \frac{1067}{3000}} = 788
              \]
          (c) 따라서 약 788명의 학생을 조사해야 함.

2. 예제
 1) 문제
    (1) 한 제조업체에서 전구의 평균 수명을 알고자 함. 현재 공정의 표준편차가 33.7시간이고, 95% 신뢰 구간의 길이가 10시간 이하가 되도록 하려면 표본 크기는 얼마여야 하는가?
    (2) 한 공정에서 비누의 평균 초과 중량을 추정하려 함. 모집단의 표준편차가 13g이고, 최대 허용 오차가 1.5g이며 신뢰 수준이 95%일 때, 표본 크기를 구하라.

 2) 답안
    (1) 전구 수명 예제
        - 공식: \( n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{\varepsilon^2} \)
        - 주어진 값: \( z_{0.025} = 1.96, \sigma = 33.7, \varepsilon = 5 \)
        - 계산:
          \[
          n = \frac{(1.96)^2 \times (33.7)^2}{5^2} = 175
          \]
        - 필요한 표본 크기: 175개

    (2) 비누 중량 예제
        - 주어진 값: \( z_{0.025} = 1.96, \sigma = 13, \varepsilon = 1.5 \)
        - 계산:
          \[
          n = \frac{(1.96)^2 \times (13)^2}{1.5^2} = 292
          \]
        - 필요한 표본 크기: 292개

# R 코드
# 전구 수명 예제
z_alpha_2 <- qnorm(0.975)
sigma <- 33.7
epsilon <- 5
n <- (z_alpha_2^2  sigma^2) / (epsilon^2)
ceiling(n) # 결과: 175

# 비누 중량 예제
sigma <- 13
epsilon <- 1.5
n <- (z_alpha_2^2  sigma^2) / (epsilon^2)
ceiling(n) # 결과: 292

# Python 코드
import scipy.stats as stats
import numpy as np

# 전구 수명 예제
z_alpha_2 = stats.norm.ppf(0.975)
sigma = 33.7
epsilon = 5
n = (z_alpha_22  sigma2) / (epsilon2)
print(np.ceil(n))  # 결과: 175

# 비누 중량 예제
sigma = 13
epsilon = 1.5
n = (z_alpha_22  sigma2) / (epsilon2)
print(np.ceil(n))  # 결과: 292

3. 연습문제
 1) 문제
    (1) 한 대학에서 새로운 평가 방식을 도입하려고 한다. 95% 신뢰 수준에서 최대 허용 오차를 0.02로 설정할 때, 표본 크기를 구하라.
    (2) 한 제조업체가 제품 무게의 평균을 90% 신뢰 수준에서 ±0.001 정확도로 추정하려 한다. 표본 크기를 구하라.

 2) 답안
    (1) 학생 평가 방식 예제
        - 주어진 값: \( z_{0.025} = 1.96, p = 0.5, \varepsilon = 0.02 \)
        - 계산:
          \[
          n = \frac{(1.96)^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.02^2} = 2401
          \]
        - 필요한 표본 크기: 2401명

    (2) 제품 무게 예제
        - 주어진 값: \( z_{0.05} = 1.645, \sigma = 0.02, \varepsilon = 0.001 \)
        - 계산:
          \[
          n = \frac{(1.645)^2 \times (0.02)^2}{(0.001)^2} = 1083
          \]
        - 필요한 표본 크기: 1083개

# R code
# (1) 학생 평가 방식 예제
z <- 1.96       # z_{0.025}
p <- 0.5
epsilon <- 0.02 # 허용 오차

n_students <- (z^2 * p * (1 - p)) / (epsilon^2)
n_students_ceil <- ceiling(n_students)

cat("학생 평가 방식 예제 표본크기:", n_students_ceil, "\n")

# (2) 제품 무게 예제
z <- 1.645      # z_{0.05}
sigma <- 0.02
epsilon <- 0.001

n_products <- (z^2 * sigma^2) / (epsilon^2)
n_products_ceil <- ceiling(n_products)

cat("제품 무게 예제 표본크기:", n_products_ceil, "\n")

# Python code
import math

# (1) 학생 평가 방식 예제
z = 1.96        # z_{0.025}
p = 0.5
epsilon = 0.02  # 허용 오차

n_students = (z**2 * p * (1 - p)) / (epsilon**2)
n_students_ceil = math.ceil(n_students)
print("학생 평가 방식 예제 표본크기:", n_students_ceil)

# (2) 제품 무게 예제
z = 1.645       # z_{0.05}
sigma = 0.02
epsilon = 0.001

n_products = (z**2 * sigma**2) / (epsilon**2)
n_products_ceil = math.ceil(n_products)
print("제품 무게 예제 표본크기:", n_products_ceil)