* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다
연속형 이변량 분포는 두 연속형 확률변수 \( X \)와 \( Y \)의 결합 분포를 설명합니다. 이 분포는 두 변수 간의 관계를 확률 밀도 함수(pdf)로 표현합니다.
1. 결합 확률 밀도 함수 (Joint Probability Density Function)
두 연속형 확률변수 \( X \)와 \( Y \)의 결합 확률 밀도 함수 \( f_{X,Y}(x,y) \)는 다음과 같은 성질을 만족합니다:
1. \( f_{X,Y}(x,y) \geq 0 \)
2. 전체 확률은 1:
\[\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy = 1\]
2. 주변 확률 밀도 함수 (Marginal Density Function)
\( X \) 또는 \( Y \)의 주변 확률 밀도 함수는 다른 변수를 적분하여 계산합니다:
\[f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \, dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \, dx\]
3. 조건부 확률 밀도 함수 (Conditional Density Function)
\( Y = y \)가 주어졌을 때 \( X = x \)의 조건부 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}, \quad \text{단, } f_Y(y) > 0\]
4. 독립성 (Independence)
\( X \)와 \( Y \)가 독립이라면, 결합 확률 밀도 함수는 각 변수의 주변 확률 밀도 함수의 곱으로 표현됩니다:
\[f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)\]
5. 기댓값 (Expectation)
- \( X \)와 \( Y \)의 결합 분포를 이용한 기댓값:
\[E[X] = \int_{-\infty}^\infty x \cdot f_X(x) \, dx, \quad E[Y] = \int_{-\infty}^\infty y \cdot f_Y(y) \, dy\]
\[E[XY] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty x \cdot y \cdot f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy\]
6. 공분산과 상관계수
- 공분산:
\[\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]\]
- 상관계수:
\[\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}}\]
예제
예제 1: 결합 확률 밀도 함수로부터 주변 밀도 함수 계산
다음 결합 확률 밀도 함수가 주어졌을 때, \( f_X(x) \)와 \( f_Y(y) \)를 계산하세요:
\[
f_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
6xy & \text{if } 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
답안
1. \( f_X(x) = \int_0^1 f_{X,Y}(x,y) \, dy = \int_0^1 6xy \, dy = 6x \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_0^1 = 3x \)
2. \( f_Y(y) = \int_0^1 f_{X,Y}(x,y) \, dx = \int_0^1 6xy \, dx = 6y \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 = 3y \)
예제 2: 조건부 확률 밀도 함수 계산
위의 \( f_{X,Y}(x,y) \)에서 \( Y = 0.5 \)가 주어졌을 때, \( X \)의 조건부 확률 밀도 함수 \( f_{X|Y}(x|0.5) \)를 구하세요.
답안
1. \( f_Y(0.5) = \int_0^1 f_{X,Y}(x, 0.5) \, dx = \int_0^1 6x \cdot 0.5 \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 = 1.5 \)
2. \( f_{X|Y}(x|0.5) = \frac{f_{X,Y}(x, 0.5)}{f_Y(0.5)} = \frac{6x \cdot 0.5}{1.5} = 2x \)
예제 3: 기댓값 계산
위의 \( f_{X,Y}(x,y) \)에서 \( E[X] \), \( E[Y] \), \( E[XY] \)를 구하세요.
답안
1. \( E[X] = \int_0^1 x \cdot f_X(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot 3x \, dx = \int_0^1 3x^2 \, dx = x^3 \Big|_0^1 = 1 \)
2. \( E[Y] = \int_0^1 y \cdot f_Y(y) \, dy = \int_0^1 y \cdot 3y \, dy = \int_0^1 3y^2 \, dy = y^3 \Big|_0^1 = 1 \)
3. \( E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 x \cdot y \cdot f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^1 x \cdot y \cdot 6xy \, dx \, dy \)
\[
= \int_0^1 \int_0^1 6x^2y^2 \, dx \, dy = \int_0^1 y^2 \cdot \int_0^1 6x^2 \, dx \, dy = \int_0^1 y^2 \cdot 2 \, dy = \frac{2y^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{2}{3}
\]
연습문제
문제 1
결합 확률 밀도 함수가 다음과 같을 때, \( f_X(x) \)와 \( f_Y(y) \)를 구하세요:
\[
f_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
4xy & \text{if } 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
문제 2
위의 \( f_{X,Y}(x,y) \)에서 \( Y = 0.4 \)가 주어졌을 때, \( X \)의 조건부 확률 밀도 함수 \( f_{X|Y}(x|0.4) \)를 구하세요.
문제 3
위의 \( f_{X,Y}(x,y) \)에서 \( E[X] \), \( E[Y] \), \( E[XY] \)를 계산하세요.
연습문제 답
문제 1: 결합 확률 밀도 함수의 주변 확률 밀도 함수 구하기
주어진 결합 확률 밀도 함수:
\[
f_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
4xy & \text{if } 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}
\]
1. \( f_X(x) \): \( Y \)를 적분하여 주변 확률 밀도 함수를 구합니다.
\[
f_X(x) = \int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y) \, dy = \int_{0}^{1} 4xy \, dy.
\]
적분을 계산하면:
\[
f_X(x) = 4x \int_{0}^{1} y \, dy = 4x \left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{1} = 4x \cdot \frac{1}{2} = 2x.
\]
2. \( f_Y(y) \): \( X \)를 적분하여 주변 확률 밀도 함수를 구합니다.
\[
f_Y(y) = \int_{0}^{1} f_{X,Y}(x,y) \, dx = \int_{0}^{1} 4xy \, dx.
\]
적분을 계산하면:
\[
f_Y(y) = 4y \int_{0}^{1} x \, dx = 4y \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = 4y \cdot \frac{1}{2} = 2y.
\]
따라서:
\[
f_X(x) = 2x, \quad f_Y(y) = 2y \quad \text{for } 0 \leq x, y \leq 1.
\]
문제 2: 조건부 확률 밀도 함수 \( f_{X|Y}(x|0.4) \)
조건부 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:
\[
f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.
\]
\( Y = 0.4 \)일 때:
\[
f_{X|Y}(x|0.4) = \frac{f_{X,Y}(x, 0.4)}{f_Y(0.4)}.
\]
\( f_{X,Y}(x, 0.4) = 4x \cdot 0.4 = 1.6x \), \( f_Y(0.4) = 2 \cdot 0.4 = 0.8 \)이므로:
\[
f_{X|Y}(x|0.4) = \frac{1.6x}{0.8} = 2x \quad \text{for } 0 \leq x \leq 1.
\]
문제 3: 기대값 \( E[X] \), \( E[Y] \), \( E[XY] \) 계산
1. \( E[X] \):
\[
E[X] = \int_{0}^{1} x f_X(x) \, dx = \int_{0}^{1} x (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx.
\]
\[
E[X] = 2 \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\]
2. \( E[Y] \):
\[
E[Y] = \int_{0}^{1} y f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{1} y (2y) \, dy = 2 \int_{0}^{1} y^2 \, dy.
\]
\[
E[Y] = 2 \left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
\]
3. \( E[XY] \):
\[
E[XY] = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy (4xy) \, dx \, dy.
\]
\[
E[XY] = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x^2y^2 \, dx \, dy = 4 \left(\int_{0}^{1} x^2 \, dx\right) \left(\int_{0}^{1} y^2 \, dy\right).
\]
\[
E[XY] = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}.
\]
# R code
# 문제 1
f_X <- function(x) ifelse(x >= 0 & x <= 1, 2 * x, 0)
f_Y <- function(y) ifelse(y >= 0 & y <= 1, 2 * y, 0)
# 문제 2
f_X_given_Y <- function(x, y) {
if (y >= 0 & y <= 1) {
f_XY <- 4 * x * y
f_Y <- 2 * y
return(ifelse(x >= 0 & x <= 1, f_XY / f_Y, 0))
} else {
return(0)
}
}
f_X_given_Y(0.5, 0.4) # 예시 계산
# 문제 3
E_X <- integrate(function(x) x * 2 * x, 0, 1)$value
E_Y <- integrate(function(y) y * 2 * y, 0, 1)$value
E_XY <- integrate(function(x) integrate(function(y) 4 * x^2 * y^2, 0, 1)$value, 0, 1)$value
list(E_X = E_X, E_Y = E_Y, E_XY = E_XY)# Python code
import scipy.integrate as spi
# 문제 1
f_X = lambda x: 2 * x if 0 <= x <= 1 else 0
f_Y = lambda y: 2 * y if 0 <= y <= 1 else 0
# 문제 2
def f_X_given_Y(x, y):
if 0 <= y <= 1:
f_XY = 4 * x * y
f_Y = 2 * y
return f_XY / f_Y if 0 <= x <= 1 else 0
else:
return 0
print(f_X_given_Y(0.5, 0.4)) # 예시 계산
# 문제 3
E_X = spi.quad(lambda x: x * 2 * x, 0, 1)[0]
E_Y = spi.quad(lambda y: y * 2 * y, 0, 1)[0]
E_XY = spi.quad(lambda x: spi.quad(lambda y: 4 * x**2 * y**2, 0, 1)[0], 0, 1)[0]
print({"E[X]": E_X, "E[Y]": E_Y, "E[XY]": E_XY})