9.5 General Factorial and 2k Factorial Designs
* 본 블로그 포스트에서 사용된 표, 이미지 및 기타 관련 자료는 "PROBABILITY AND STATISTICAL INFERENCE 9th Edition"에서 발췌한 것입니다. 이 자료들은 내용을 요약하고 이해를 돕기 위한 참고용으로 제공됩니다. 또한, 해석 과정에서 일부 오류가 있을 수 있으니 원본을 참고하여 확인하시기 바랍니다
1. 이론정리
1) 일반 요인설계 (General Factorial Design)
(1) 개요
- 요인설계(Factorial Design)는 여러 개의 요인이 실험 결과에 미치는 영향을 동시에 분석하는 기법이다.
- 두 개 이상의 요인이 포함된 경우, 요인 간의 상호작용(Interaction) 을 고려해야 한다.
- 요인설계는 다양한 분야에서 사용되며, 특히 산업 실험, 생명과학, 경영학에서 중요한 역할을 한다.
(2) 실험 설계
- 일반적으로 \(k\) 개의 요인이 각각 \(n_1, n_2, \dots, n_k\) 개의 수준(Level)을 가지면, 총 실험 조합의 수는 다음과 같다.
\[
N = n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k
\]
- 예를 들어, 3개의 요인(A, B, C)이 각각 2개의 수준을 가지면 실험 조합 수는
\[
N = 2 \times 2 \times 2 = 8
\]
- 각 요인의 수준(Level)이 많을수록 실험의 복잡성이 증가한다.
- 실험 비용과 시간을 절감하기 위해 부분 요인설계 (Fractional Factorial Design) 를 고려할 수 있다.
(3) 분산분석 (ANOVA) 활용
- 요인설계의 분석에는 분산분석 (ANOVA, Analysis of Variance) 가 필수적으로 사용된다.
- 실험 결과를 통해 다음과 같은 효과를 평가한다.
- 주 효과 (Main Effect): 개별 요인의 영향을 측정
- 2차 상호작용 (Two-Factor Interaction, \( AB \)): 두 요인의 조합이 실험 결과에 미치는 영향
- 3차 상호작용 (Three-Factor Interaction, \( ABC \)): 세 요인이 결합하여 영향을 미치는 효과
2) \( 2^k \) 요인설계 (\( 2^k \) Factorial Design)
(1) 정의
- \( k \) 개의 요인이 각각 두 개의 수준(낮음, 높음)에서 실험되는 요인설계이다.
- 일반적으로 수준은 -1 (낮음), +1 (높음) 으로 코딩하여 분석을 수행한다.
(2) 실험 설계 방법
- 표준 순서(Standard Order) 를 사용하여 실험을 구성한다.
- 요인의 개수 \( k \) 가 증가하면 실험의 수는 다음과 같이 기하급수적으로 증가한다.
\[
N = 2^k
\]
- 예를 들어, \( 2^3 \) 설계에서는 \( 2^3 = 8 \) 개의 실험이 필요하며, 요인의 조합은 다음과 같이 결정된다.
| Run | A | B | C | Observation1 |
| 1 | -1 | -1 | -1 | \( Y_1 \) |
| 2 | +1 | -1 | -1 | \( Y_2 \) |
| 3 | -1 | +1 | -1 | \( Y_3 \) |
| 4 | +1 | +1 | -1 | \( Y_4 \) |
| 5 | -1 | -1 | +1 | \( Y_5 \) |
| 6 | +1 | -1 | +1 | \( Y_6 \) |
| 7 | -1 | +1 | +1 | \( Y_7 \) |
| 8 | +1 | +1 | +1 | \( Y_8 \) |
(3) 상호작용 (Interaction) 분석
- 요인 간의 상호작용은 해당 요인의 수준 값을 곱한 값으로 계산한다.
- 예를 들어, AB 상호작용 효과는 다음과 같이 정의된다.
\[
AB = A \times B
\]
- 3차 상호작용 ABC의 경우
\[
ABC = A \times B \times C
\]
(4) 분산분해 (Sum of Squares Decomposition)
- 총 제곱합(Total Sum of Squares, SS)은 개별 요인 효과와 상호작용 효과로 분해될 수 있다.
- 예를 들어, \( 2^3 \) 설계에서는 다음과 같은 분해가 이루어진다.
\[
\sum (Y_i - \bar{Y})^2 = 8(A^2 + B^2 + C^2 + AB^2 + AC^2 + BC^2 + ABC^2)
\]
- 이는 각 효과가 서로 독립적으로 분산을 기여함을 의미한다.
2. 예제
1) 문제
(1) 다음과 같은 \( 2^2 \) 요인설계에서 A, B, AB 효과를 구하시오.
| Run | A | B | Observation1 |
| 1 | -1 | -1 | 10 |
| 2 | +1 | -1 | 14 |
| 3 | -1 | +1 | 18 |
| 4 | +1 | +1 | 22 |
(2) \( 2^3 \) 요인설계에서 A, B, C, AB, AC, BC, ABC 효과를 구하시오.
2) 답안
(1) \( 2^2 \) 설계의 A, B, AB 효과 계산
\[
[A] = \frac{-Y_1 + Y_2 - Y_3 + Y_4}{4} = \frac{-10 + 14 - 18 + 22}{4} = 2
\]
\[
[B] = \frac{-Y_1 - Y_2 + Y_3 + Y_4}{4} = \frac{-10 - 14 + 18 + 22}{4} = 4
\]
\[
[AB] = \frac{Y_1 - Y_2 - Y_3 + Y_4}{4} = \frac{10 - 14 - 18 + 22}{4} = 0
\]
# R code
# 데이터 생성
df <- data.frame(
A = c(-1, 1, -1, 1),
B = c(-1, -1, 1, 1),
Y = c(10, 14, 18, 22)
)
# 회귀 모델 생성
model <- lm(Y ~ A * B, data = df)
# 결과 출력
summary(model)
<-결과 출력->
# Estimate Std.값이 각 요인별 상호작용 효과
Call:
lm(formula = Y ~ A * B, data = df)
Residuals:
ALL 4 residuals are 0: no residual degrees of freedom!
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 16 NaN NaN NaN
A 2 NaN NaN NaN
B 4 NaN NaN NaN
A:B 0 NaN NaN NaN
Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: NaN
F-statistic: NaN on 3 and 0 DF, p-value: NA
[Execution complete with exit code 0]# Python code
import statsmodels.api as sm
import pandas as pd
# 데이터 생성
df = pd.DataFrame({
'A': [-1, 1, -1, 1],
'B': [-1, -1, 1, 1],
'Y': [10, 14, 18, 22]
})
# 상호작용 항 추가
df['AB'] = df['A'] * df['B']
# 회귀 모델 생성
X = sm.add_constant(df[['A', 'B', 'AB']]) # 절편 포함
y = df['Y']
model = sm.OLS(y, X).fit()
# 결과 출력
print(model.summary())
<-결과 출력->
# coef 값이 각 요인별 상호작용 효과
OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: Y R-squared: 1.000
Model: OLS Adj. R-squared: nan
Method: Least Squares F-statistic: nan
Date: Sat, 01 Mar 2025 Prob (F-statistic): nan
Time: 20:42:03 Log-Likelihood: inf
No. Observations: 4 AIC: -inf
Df Residuals: 0 BIC: -inf
Df Model: 3
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 16.0000 nan nan nan nan nan
A 2.0000 nan nan nan nan nan
B 4.0000 nan nan nan nan nan
AB -8.882e-16 nan nan nan nan nan
==============================================================================
Omnibus: nan Durbin-Watson: nan
Prob(Omnibus): nan Jarque-Bera (JB): nan
Skew: nan Prob(JB): nan
Kurtosis: nan Cond. No. 1.00
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